Persamaan Diferensial Eksak M(x,y) dx + N(x,y) dy=0
Masih pada pembahasan Persamaan Diferensial Tingkat 1. Jika diberikan PD M(x,y)dx+N(x,y)dy=0. Dikatakan eksak jika ruas kiri merupakan diferensial total yaitu $du = \frac{\partial u}{\partial x} dx + \frac{\partial u}{\partial y} dy $ dari suatu fungsi $u(x,y) $ sehingga $du=0$ yang mempunyai penyelesaian $u (x,y)=k $ dengan $k $ suatu konstanta.
Untuk mengetahui keeksakan suatu PD order 1 diberikan teorema berikut.
Teorema:
Jika $M (x,y)= \frac{\partial u}{\partial x}$ dan $N (x,y)= \frac{\partial u}{\partial y}$ kontinu, maka PD M(x,y) dx+N(x,y) dy=0 adalah eksak jika hanya jika $\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x} $ atau $M_y=N_x $.
Bukti:
Jika PD eksak maka terdapat suatu fungsi diferensial $u (x,y) $ sedemikian sehingga $du=0$. Dipunyai $M (x,y)= \frac{\partial u}{\partial x}$ dan $N (x,y)= \frac{\partial u}{\partial y} $ sebagai syarat keeksakan. Sebagai tambahan, jika M dan N terdiferensial maka $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ dengan derivatif parsial campuran dari $u$ ada dan kontinu. Karena itu, $\frac{\partial M}{\partial y} $ dan $\frac{\partial N}{\partial x} $ ada, kontinu, dan sama.
Untuk membuktikan kebalikan teorema, diasumsikan bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$. Karena itu terdapat fungsi $u$ sehingga:
$\frac{\partial u}{\partial x}=M $ dan $\frac{\partial u}{\partial y}=N $
***
Solusi PD eksak sama dengan menemukan $u(x,y)=c$ dari $\frac{\partial u}{\partial x}=M(x,y)$ dan $\frac{\partial u}{\partial y}=N(x,y)$ sbb.
- $u(x,y)= \int_x M(x,y) \ dx + \Phi (y)$; $\Phi (y)$ fungsi sembarang dari y.
- $\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial }{\partial y} ( \int_x M(x,y) \ dx) + \frac{\partial \Phi}{\partial y} = N (x,y) $
- $\frac{\partial \Phi}{\partial y} = N(x,y) - \frac{\partial }{\partial y} ( \int_x M(x,y) \ dx)$
- Integralkan untuk memperoleh fungsi $\Phi (y)$, substitusikan ke $u(x,y)$ telah ditemukan.
Contoh: Selesaikan PD $(x^2-y) \ dx - x \ dy=0$
Solusi: Diketahui $M(x,y)=x^2-y$ dan $N(x,y)=-x$ maka $\frac{\partial M }{\partial y}=-1$ dan $\frac{\partial N }{\partial x}=-1$. Karena $M_y=N_x $ maka PD tersebut adalah PD eksak.
Karena $\frac{\partial u}{\partial x}=M(x,y)$ maka
$\begin{align} u(x,y) &= \int_x M(x,y) \ dx \\ &= \int_x x^2-y \ dx \\ &= \frac{1}{3} x^3-xy+ \Phi (y) \end{align}$.
Oleh karena itu, $\frac{\partial u}{\partial y} = -x + \Phi '(y) = N(x,y)$.
Oleh karena itu, $\frac{\partial u}{\partial y} = -x + \Phi '(y) = N(x,y)$.
Karena $N(x,y)=-x$ dan berdasarkan kesamaan di atas maka $\Phi '(y)=0$. Akibatnya, $\Phi (y)=c$.
Sehingga $u(x,y)= \frac{1}{3}x^3-xy+c=k$. Jadi, diperoleh solusi umum $\frac{x^3}{3} - xy=C $