Persamaan Diferensial Linier Tingkat 1
Pengertian PD Linier Tingkat 1
Suatu persamaan diferensial tingkat 1 dikatakan linier dalam y jika tidak dapat memuat hasil kali, pangkat atau kombinasi non linier lainnya dari y atau y'. Bentuk umum dari PD linier tingkat (order) 1 diberikan sebagai berikut.
$y'+p(x)y=f(x) $
Cara Menyelesaikan PD Linier Tingkat 1
Jika $p(x)=0$ maka dapat diselesaikan dengan integrasi langsung, sedangkan jika $f(x)=0$ maka persamaan adalah PD terpisahkan, yakni:
$\begin{align} y'+p(x)y &=0 \\ y' &= -p(x)y \\ \frac{dy}{dx} &= -p(x) \ dx \\ \frac{1}{y} \ dy &= -p(x) \ dx \\ \int \frac{1}{y} \ dy &= \int -p(x) \ dx \\ ln (y) &= - \int p(x) \ dx \\ y &= e^{- \int p(x) \ dx } \end{align}$
Jika $p(x) \neq 0$ dan $f(x) \neq 0$, untuk menentukan solusi PD linier tingkat 1 tersebut adalah sebagai berikut.
Misal $u(x)$ adalah suatu fungsi dalam x.
$\begin{align} y'+p(x)y=f(x) \\ \iff u(y'+py) &= uf \\ \iff uy'+upy' &= uf \\ \iff uy'+u'y-u'y+upy &= uf \\ \iff (uy)' - (u'y-upy) &= uf \\ \iff \frac{d(uy)}{dx} - y'(u'-up) &= uf \end{align} $
Agar bentuk di atas dapat menggunakan integrasi di kedua ruas, kita harus mencari $u(x)$ dengan memberikan ketentuan bahwa $u'-up=0$, sehingga:
$\begin{align} \frac{d(uy)}{dx} &= uf \\ d(uy) &= uf \ dx \\ \int d(uy) &= \int uf \ dx \\ uy &= \int uf \ dx \\ y &= \frac{1}{u} \int uf \ dx \end{align}$
Ini bisa terjadi jika $u(x)=e^{ \int p(x) \ dx} $ sehingga $u'(x)-u(x)p(x)=0$.
Selanjutnya $u(x)$ disebut faktor integrasi PD Linier Tingkat 1.
Contoh Soal Penyelesaian PD Linier Tingkat 1 dengan Faktor Integrasi
Selesaikan $dy/dx + y tan (x) = sec (x) $ !
Penyelesaian:
Diketahui $p(x)=tan (x)$ maka faktor integrasinya adalah:
$\begin{align} u(x) &= e^{ \int tan (x) \ dx} \\ &= e^{-ln (cos (x))} \\ &= sec (x) \end {align}$.
Jadi,
$\begin{align} y &= \frac{1}{u(x)} \int u(x)f(x) \ dx \\ &= \frac{1}{sec(x)} \int sec (x) \ sec (x) \ dx \\ &= \frac{1}{sec (x)} \int sec^2 (x) \ dx \\ &= \frac{1}{sec (x)} (tan (x)+k) \\ y &= sin (x)+k \ cos(x) \end{align}$.
k suatu bilangan konstan.